حل تمرین صفحه 57 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: **بله**، هر دو شکل هم‌نهشت، متشابه نیز هستند. **دلیل:** برای اینکه دو شکل متشابه باشند، باید دو شرط زیر را داشته باشند: ۱. زوایای متناظرشان برابر باشد. ۲. نسبت اضلاع متناظرشان مقداری ثابت باشد. در دو شکل **هم‌نهشت**، طبق تعریف: ۱. تمام زوایای متناظر با هم **برابرند** (پس شرط اول تشابه برقرار است). ۲. تمام اضلاع متناظر با هم **مساوی** هستند. وقتی طول اضلاع متناظر مساوی باشد، نسبت آنها همیشه برابر با ۱ است ($ \frac{\text{طول ضلع اول}}{\text{طول ضلع دوم}} = ۱ $). پس شرط دوم تشابه نیز با نسبت ثابت ۱ برقرار است. **نسبت تشابه:** در دو شکل هم‌نهشت، نسبت تشابه برابر با **۱** است.

پاسخ تشریحی: **خیر**، هر دو لوزی دلخواه لزوماً با هم متشابه نیستند. **چرا؟** برای تشابه، باید هم زوایای متناظر برابر باشند و هم نسبت اضلاع متناظر ثابت باشد. * **اضلاع:** در هر لوزی تمام اضلاع برابرند. پس اگر یک لوزی به ضلع $a$ و دیگری به ضلع $b$ داشته باشیم، نسبت اضلاع آنها همیشه $ \frac{a}{b} $ و ثابت است. **پس شرط اضلاع برقرار است.** * **زوایا:** اما زوایای یک لوزی می‌توانند مقادیر مختلفی داشته باشند. برای مثال، یک لوزی می‌تواند زاویه‌های $۶۰^\circ$ و $۱۲۰^\circ$ داشته باشد، در حالی که لوزی دیگر (مربع) زاویه‌های $۹۰^\circ$ دارد. چون **شرط برابری زوایای متناظر** همیشه برقرار نیست، پس هر دو لوزی دلخواه با هم متشابه نیستند.

پاسخ تشریحی: مقیاس **۱:۲۰۰** به این معناست که هر ۱ واحد فاصله روی نقشه، معادل ۲۰۰ واحد فاصله در اندازه‌ی واقعی است. برای محاسبه‌ی فاصله‌ی واقعی، می‌توانیم یک تناسب تشکیل دهیم: $ \frac{\text{فاصله‌ی روی نقشه}}{\text{فاصله‌ی واقعی}} = \frac{۱}{۲۰۰} $ با قرار دادن مقادیر، داریم: $ \frac{۳.۵ \text{ سانتی‌متر}}{\text{فاصله‌ی واقعی}} = \frac{۱}{۲۰۰} $ با طرفین وسطین کردن، فاصله‌ی واقعی به دست می‌آید: $ \text{فاصله‌ی واقعی} = ۳.۵ \times ۲۰۰ = ۷۰۰ \text{ سانتی‌متر} $ برای نمایش بهتر، می‌توانیم این مقدار را به متر تبدیل کنیم ($۱۰۰ \text{ سانتی‌متر} = ۱ \text{ متر}$): $ ۷۰۰ \text{ سانتی‌متر} = ۷ \text{ متر} $ بنابراین، فاصله‌ی واقعی دو نقطه **۷ متر** است.

پاسخ تشریحی: **بله**، هر دو مثلث متساوی‌الاضلاع با هم متشابه هستند. **چرا؟** زیرا هر دو شرط تشابه برای آنها همیشه برقرار است: ۱. **برابری زوایا:** تمام زوایای هر مثلث متساوی‌الاضلاعی، صرف نظر از اندازه‌ی اضلاع آن، برابر **$۶۰^\circ$** است. بنابراین، زوایای متناظر در هر دو مثلث متساوی‌الاضلاع با هم برابرند. ۲. **تناسب اضلاع:** در مثلث متساوی‌الاضلاع، هر سه ضلع با هم برابرند. اگر طول ضلع مثلث اول $a$ و طول ضلع مثلث دوم $b$ باشد، نسبت اضلاع متناظر آنها همیشه $ \frac{a}{b} $ خواهد بود که مقداری ثابت است. چون هر دو شرط همواره برقرار است، تمام مثلث‌های متساوی‌الاضلاع با یکدیگر متشابه هستند.

پاسخ تشریحی: **خیر**، هر دو مثلث متساوی‌الساقین لزوماً با هم متشابه نیستند. **چرا؟** برای تشابه، باید زوایای متناظر برابر باشند. در مثلث‌های متساوی‌الساقین، زوایا ثابت نیستند. * **مثال نقض:** * یک مثلث متساوی‌الساقین می‌تواند زوایای **$۳۰^\circ, ۳۰^\circ, ۱۲۰^\circ$** داشته باشد. * یک مثلث متساوی‌الساقین دیگر می‌تواند زوایای **$۷۰^\circ, ۷۰^\circ, ۴۰^\circ$** داشته باشد. چون زوایای این دو مثلث با هم برابر نیستند، این دو مثلث متساوی‌الساقین با یکدیگر متشابه نمی‌باشند. برای تشابه دو مثلث متساوی‌الساقین، باید حداقل یکی از زوایای متناظرشان (مثلاً زاویه‌ی رأس یا یکی از زوایای قاعده) با هم برابر باشد.

پاسخ تشریحی: چون دو مثلث متشابه هستند و اضلاع آنها به ترتیب از کوچک به بزرگ نوشته شده است، نسبت اضلاع متناظر آنها باید مقداری ثابت باشد. * اضلاع $ \triangle ABC $: $ (۴, ۵, ۸) $ * اضلاع $ \triangle DEF $: $ (x-۱, ۱۰, x+۷) $ با تطبیق دادن اضلاع متناظر، تناسب زیر را می‌نویسیم: $ \frac{۴}{x-۱} = \frac{۵}{۱۰} = \frac{۸}{x+۷} $ از کسر وسط، نسبت تشابه را به دست می‌آوریم: $ \frac{۵}{۱۰} = \frac{۱}{۲} $ حالا از این نسبت برای پیدا کردن $x$ استفاده می‌کنیم. می‌توانیم از هر یک از دو کسر دیگر استفاده کنیم: * **استفاده از کسر اول:** $ \frac{۴}{x-۱} = \frac{۱}{۲} \Rightarrow ۴ \times ۲ = ۱ \times (x-۱) \Rightarrow ۸ = x-۱ \Rightarrow x = ۹ $ * **بررسی با کسر سوم:** $ \frac{۸}{x+۷} = \frac{۱}{۲} \Rightarrow ۸ \times ۲ = ۱ \times (x+۷) \Rightarrow ۱۶ = x+۷ \Rightarrow x = ۹ $ هر دو روش به یک جواب می‌رسند. بنابراین مقدار **$x=۹$** است.

پاسخ تشریحی: برای یافتن مثلث متشابه با $ \triangle ABC $، باید به دنبال شکلی باشیم که **زوایای یکسان** و **اضلاع متناسب** داشته باشد. به عبارت ساده، شکلی که انگار نسخه‌ی کوچک یا بزرگ شده‌ی $ \triangle ABC $ است. * **مثلث آبی:** این شکل یک چهارضلعی است و مثلث نیست، پس نمی‌تواند متشابه باشد. * **مثلث صورتی:** این مثلث به نظر متساوی‌الساقین یا متساوی‌الاضلاع می‌آید. زوایای آن با زوایای مثلث $ABC$ (که به وضوح مختلف‌الاضلاع است) متفاوت به نظر می‌رسد. * **مثلث بنفش:** این مثلث نیز مانند $ \triangle ABC $ مختلف‌الاضلاع است. با مقایسه‌ی چشمی، زوایای آن با زوایای $ \triangle ABC $ برابر به نظر می‌رسند و به نظر می‌رسد که نسخه‌ی کوچک‌شده‌ی آن باشد. بنابراین، **مثلث بنفش** با مثلث ABC متشابه است.

پاسخ تشریحی: **الف) محاسبه‌ی x و y با قضیه‌ی فیثاغورس** * **برای مثلث ABO:** این یک مثلث قائم‌الزاویه با اضلاع قائمه‌ی ۶ و ۸ است. $x$ وتر این مثلث است. $ x^۲ = ۶^۲ + ۸^۲ = ۳۶ + ۶۴ = ۱۰۰ $ $ x = \sqrt{۱۰۰} = ۱۰ $ * **برای مثلث A'B'O:** این یک مثلث قائم‌الزاویه با اضلاع قائمه‌ی ۳ و ۴ است. $y$ وتر این مثلث است. $ y^۲ = ۳^۲ + ۴^۲ = ۹ + ۱۶ = ۲۵ $ $ y = \sqrt{۲۵} = ۵ $ --- **ب) آیا دو مثلث متشابه‌اند؟ چرا؟** **بله**، این دو مثلث با هم متشابه هستند. * **چرا؟** برای بررسی تشابه، می‌توانیم نسبت اضلاع متناظر آنها را محاسبه کنیم (حالت تشابه سه‌ضلع یا ض‌ض‌ض). * **نسبت وترها:** $ \frac{x}{y} = \frac{۱۰}{۵} = ۲ $ * **نسبت اضلاع قائم عمودی:** $ \frac{AB}{A'B'} = \frac{۶}{۳} = ۲ $ * **نسبت اضلاع قائم افقی:** $ \frac{BO}{B'O} = \frac{۸}{۴} = ۲ $ چون نسبت تمام اضلاع متناظر با هم برابر و مساوی **۲** است، پس این دو مثلث با یکدیگر **متشابه** هستند.